Regueiro's Theorem, Regueiro's Polyhedra and the Pythagorean Theorem

In Bridges 2015 Art Exhibit we can see and read

At first glance we see a net of rhombic triacontahedron in the plane extended to a circular shape by adding diamonds. It has its beauty. But the interior has its own beauty, mathematical beauty.
Indeed, several of the tetrahedral included in the figures, or even the whole work, satisfy that the squares of the areas of the triangular faces added with + or - signs come to zero.
It is actually another version of the 3d Pythagorean Theorem that I discovered 50 years ago (different from the trirectangular tetrahedron). In its anniversary, I want to rediscover it for everyone. It can be inferred that A ^ 2 + B ^ 2 = C ^ 2 + D ^ 2 and many similar formulas.

Mathematical Beauty of the tetrahedra
17 x 24 x 26 cm
3D Printed objects in Strong & Flexible Plastic
2015

George Birkhoff defines beauty as order/complexity. Regueiro’s theorem is not really complicated to prove, but gives great order to calculate areas of a tetrahedron, so what led him to not be recognized for 50 years –to have easy demonstration- is one of the reasons for making it one of the most beautiful theorems of geometry (in my opinion, as the creator). But, what's

Regueiro's theorem

First. If v1 and v2 are two orthogonal vectors in space by the Pythagorean Theorem is satisfied that:
ǀv1 + v2ǀ2=ǀ v1 ǀ 2 + ǀv2ǀ 2     (1)

ǀv1 - v2ǀ 2= ǀv1 ǀ 2 + ǀv2ǀ 2  (2)

Metric relationship between the faces of a tetrahedron with two right dihedral

Being 1, ∆2, areas of the faces forming a right dihedral, and 3, ∆4 the other is true that:


 
21+∆22=23+ ∆24


To prove it, in a tetrahedron with these characteristics put on their edges vectors v1, v2, v3, v2 - v3, v2 - v1, v1 - v3 (see Figure 2), assuming that a right dihedron is between the plane containing the vectors v2 and v3, and the plane containing the vectors v2 - v3 and v1 - v3. The other is the right dihedron formed by the plane containing v1 and v2 and the plane containing v1 and v3. So v2xv3 is orthogonal to (v2-v3)x(v1-v3). And v1xv2 is orthogonal to v1xv3.
To these pairs of vectors is possible to apply (1) and (2).

 

 the three vectors on the left are v1, v2, and v3. The three vectors on the right are v2 - v3, v2 - v1, v1 - v3


  FIGURE 2:
21+∆22=∆23+∆24


Relationship between areas of a tetrahedron with two right dihedral. Then
ǀ(v2 –v3)x(v1 v3) ǀ 2+ǀv2 x v3ǀ 2=  ǀ (v2 –v3)x(v1 v3)+v2 x v3 ǀ 2 by  (1)

= ǀv2 x v1 v3 x v1- v2 x v3 + v2 x v3ǀ 2 =  ǀv2 x v1 v3 x v1ǀ 2=  ǀv2 x v1ǀ 2 +ǀv3 x v1ǀ 2

by (2). Dividing equality ǀ(v2 –v3)x(v1 v3) ǀ 2+ ǀv2 x v3ǀ 2= ǀv2 x v1ǀ 2 +ǀv3 x v1ǀ 2 by 4 we get 21+22=23+24

 

Las razones para que este teorema sea desconocido aunque se publique por primera vez en 1981 son varias:
a) Efecto desconfianza, un teorema fácil de demostrar y con aire antiguo parece que no tiene o debe tener una demostración contemporánea. Que debe ser de 1600 o así, como el del triedro trirrectángulo. Pero no es hasta 1881 que Josiah Willard Gibbs define producto vectorial! Una demostración con producto vectorial debe ser del siglo XX, por lo menos. 
b) Efecto lengua (not in english): a pesar de ser uno de los idiomas más hablados del mundo, el español parece que no tiene suficiente entidad para hacer o explicar un teorema universal en ese idioma.
c) La importancia del teorema. Si es una generalización del teorema de Pitágoras parece que es algo muy importante y por tanto lo tiene que hacer alguien importante, not a spanish teacher...
d) Dios es único, dicen las principales religiones del mundo. Si existe una generalización del teorema de Pitágoras esta debe ser única, dicen los entendidos. El hecho de que ya haya 2 en tres dimensiones, 2 en cuatro dimensiones y n/2 en n dimensiones confunde y hace desconfiar del teorema. En consecuencia sólo se admite como generalización la primera versión un simplex en n-dimensiones que tiene n-caras simplex ortogonales entre si 2 a 2. Todas las otras versiones (Regueiro) publicadas en 1981 no existen.

¿Por qué llamarlo Teorema de Regueiro?

Después de 50 años desde mi autoría (no desde su publicación, en 1981) parece tiempo suficiente para presumir de creación.

Porque las demostraciones que realicé son muy sencillas y únicas.

Porque soy la única persona que en 50 años tuvo una visión global de la generalización del teorema de Pitágoras.

Vamos a ver este punto. El teorema de Pitágoras en el plano produce una serie de consecuencias: que si el teorema del coseno, el teorema de la altura, el teorema del cateto,  que si el árbol de Pitágoras... Para que el teorema de Pitágoras esté completo en el espacio, o en un espacio de n-dimensiones, debe cumplir que sea posible generalizar (de varias formas) el teorema del coseno, el teorema de la altura, y el del cateto, tal como hice en 1989, (ver [2]) y en 2015 generalizo el árbol pitagórico a tres dimensiones, aunque todavía no ha sido publicado, pero que es posible ver aquí.

En realidad, en este último caso, demuestro que sólo admitiendo el teorema de Regueiro se puede ver en que consiste el teorema de Pitágoras generalizado en su forma más completa, pues es necesario para que los varios corolarios del teorema de Pitágoras en el plano se puedan extender a dimensiones superiores. En este caso los poliedros de Regueiro (que nadie más ha descrito nunca) que son equivalentes a árboles de Pitágoras en dimensiones superiores.

Está claro por lo ya visto que llamar Poliedros de Regueiro a los árboles pitagóricos en tres dimensiones es ajustado a la realidad porque soy la persona que ve y describe esa relación. Por ejemplo un poliedro de Regueiro en n dimensiones, ¿que es? Un poliedro que está construido uniendo, por caras comunes, símplices de n dimensiones que verifiquen algunos de los  teoremas de Regueiro posibles. En 4 dimensiones, por ejemplo, los teoremas posibles son A2=B2+C2+D2+E2 (con 4 tetraedros ortogonales entre si 2 a 2), A2+B2=C2+D2+E2 (con 3 tetraedros ortogonales entre si 2 a 2, por un lado y los restantes 2 tetraedros también son ortogonales entre si), Todo poliedro de Regueiro de 4 dimensiones está compuesto por símplices de 4 dimensiones que cumplen uno u otro tipo de teoremas citados. Unidos por caras comunes.

¿Por qué no poner bibliografía en inglés? Porque no tienen el punto de vista que mantengo y yo nunca me basé en otra bibliografía. Un libro, excelente por otra parte, que podría tratar este tema es Three Dimensional theorems for schools (2005) de Sir Christopher Zeeman. Pero no trata el teorema de Pitágoras y sus generalizaciones a 3 dimensiones. Ese capítulo que le falta está en mis textos. Estos:




Regueiro's Polyhedra

Generalización del Teorema de Pitágoras a n-dimensiones

Geometría métrica en un tetraedro Un ejemplo

Programa Pitágoras

References
[1] Manuel Díaz Regueiro. Geometría métrica en un simplex de Rn. Gaceta Matemática. Tomo XIII. Número 5-6. Madrid. 1981.
[2] Manuel Díaz Regueiro. Geometría métrica en tetraedro. Boletín das Ciencias. Santiago.1989.

[3] How to Build Regueiro's Polyhedra
The two articles are in the web allegue.com/artigos. And above